Error dalam Komputasi Numerik

By ·
 1. Menurut Anda berapakah hasil dari \frac{4}{9}? Berapa banyak digit 4 setelah koma pada perhitungan Anda?
2. Sejauh yang Anda ketahui, berapakah nilai dari konstanta gravitasi g? Apakah Anda dengan pasrah percaya bahwa nilai dari g=9.8?
Pada masalah pertama, jika banyaknya digit 4 setelah koma dipotong (chopping) hingga menjadi, katakanlah 5 atau 6 digit, hasil bagi \frac{4}{9} menjadi sesuatu yang kurang tepat? Kemudian pada masalah kedua, jika nilai g yang diperoleh dari percobaan-percobaan adalah: 9.78;9.82;9.76;9.81 dibulatkan (rounding) menjadi 9.8 apakah hasil-hasil percobaan tersebut menjadi sesuatu yang kurang tepat pula?


Mari kita gunakan hasil pemotongan dan pembulatan di atas untuk dioperasikan dengan suatu bilangan yang sangat besar sekali, misal 10^{10}, maka diperoleh error turunan pertama. Hasil operasi tersebut ditarik akar kuadratnya dan menghasilkan error turunan kedua, dan demikian seterusnya jika hasil pemotongan dan pembulatan yang error tersebut terus dioperasikan.

Lantas kapankah pemotongan dan pembulatan harus dilakukan? Jawabannya sesuai kebutuhan Anda hingga pemotongan dan pembulatan yang Anda yakini kebenarannya. Masih belum yakin? Perhatikan ilustrasi berikut. Jika Anda ditugaskan untuk membuat suatu gedung berlantai 25 dan dirancang untuk bisa tahan gempa hingga 7.5 skala Richter, apakah Anda masih menggunakan g=9.8 sebagai tetapan gravitasi sehingga distribusi energi akibat gempa pada masing-masing lantai sama? Bisa jadi jika Anda tetap menggunakan g=9.8, dengan gempa berkekuatan 6.5 skala Richter gedung Anda sudah kolaps. Jadi, untuk perhitungan tersebut dibutuhkan error dalam pemotongan atau pembulatan yang lebih sedikit lagi.

Dari abstraksi di atas, error (\epsilon) merupakan harga mutlak dari selisih solusi analitis dan solusi numerik dari sebuah masalah. Dinotasikan dengan
\epsilon = \left | L-L_i \right |
Wah, kalau begitu lebih baik menggunakan solusi analitis saja daripada solusi numerik, daripada salah kan? Dalam beberapa kasus, solusi analitis–jika mudah dicari–sangat dianjurkan. Namun, ada pula beberapa kasus saat solusi numerik lebih diutamakan.
Perhatikan fungsi berikut \int \sqrt{x} dx . Luas area di bawah kurva tersebut dengan batas 0 sampai 3 jika dihitung menggunakan perhitungan luas area dengan menggunakan integral adalah
\int_{0}^{3} \sqrt{x}dx = 2 \sqrt{3}
yang merupakan solusi analitik dari fungsi yang diberikan atau kira-kira sama dengan 3.4641016151 .
Solusi numeriknya dapat diperoleh dengan menggunakan Aturan Simpson. Aturan Simpson merupakan metode penghampiran luas area datar dengan membagi daerah di bawah kurva hingga menjadi \dfrac{n}{2} partisi kemudian menjumlahkan luasan seluruh partisi.
Pada pemrograman Pascal, hasil-hasil dari perhitungan untuk masing-masing n adalah
n \Rightarrow \int_{0}^{3} \sqrt{x} dx
10 \Rightarrow 3.45076269220
100 \Rightarrow 3.46367976760
1000 \Rightarrow 3.46408827510
10000 \Rightarrow 3.46410119320
98000 \Rightarrow 3.46410154300
1000000 \Rightarrow 3.46410142410
9000000 \Rightarrow 3.46410148200
Terlihat untuk n \rightarrow \infty, hasil luas area datar dengan menggunakan Aturan Simpson konvergen ke 2 \sqrt{3}.
Wah, kalau begitu lebih baik menggunakan solusi analitik dong supaya lebih akurat? Iya, untuk fungsi-fungsi yang gampang. Di luar, masih banyak fungsi lain, misal panjang busur elips, yang tidak dapat diperoleh solusi analitiknya melainkan hanya dengan solusi numerik saja.